Los números complejos son una generalización de los números reales especialmente útiles en muchas ramas de las matemáticas puras y de la física. El matemático italiano Gerolamo Cardano es el primero de quien se sabe que introdujo el concepto de números complejos; estos fueron popularizados posteriormente por Karl Friedrich Gauss y Leonhard Euler.
La notación usada para representar a los números complejos es:
$z=x+iy$
Donde $x$ y $y$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2=-1$
Es también muy común encontrar la siguiente notación:
$x=Re(z)$ $y=Im(z)$
Los números reales son precisamente aquellos complejos cuya parte imaginario es cero. Se dice que un número complejo cuya parte real es nula, es un imaginario puro.
Los números complejos pueden ser visualizados de manera más simple en un plano Euclídeo haciendo las siguientes identificaciones: el número complejo $z=x+iy \in \mathbb{C}$ se le asigna un punto $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Naturalmente el eje $x$ y el eje $y$ de $\mathbb{R}^{2}$ son los llamados eje real y eje imaginario respectivamente.
Los números complejos son una generalización de los números reales especialmente útiles en muchas ramas de las matemáticas puras y de la física. El matemático italiano Gerolamo Cardano es el primero de quien se sabe que introdujo el concepto de números complejos; estos fueron popularizados posteriormente por Karl Friedrich Gauss y Leonhard Euler.
La notación usada para representar a los números complejos es:
$z=x+iy$
Donde $x$ y $y$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2=-1$
Es también muy común encontrar la siguiente notación:
$x=Re(z)$ $y=Im(z)$
Los números reales son precisamente aquellos complejos cuya parte imaginario es cero. Se dice que un número complejo cuya parte real es nula, es un imaginario puro.
Los números complejos pueden ser visualizados de manera más simple en un plano Euclídeo haciendo las siguientes identificaciones: el número complejo $z=x+iy \in \mathbb{C}$ se le asigna un punto $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Naturalmente el eje $x$ y el eje $y$ de $\mathbb{R}^{2}$ son los llamados eje real y eje imaginario respectivamente.
Operaciones con números complejos
Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ , se tiene:
$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$
Y tambièn
$z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_+iy_2)$
$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2-y_1 \cdot y_2)+i(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$
Se tomará ambas expresiones como la definición de la adición y la multiplicación.
La noción de longitud o valor absoluto de un número complejo es idéntica a la noción de longitud del plano Euclídeo. Se define como el valor absoluto o módulo de un número complejo $z=x+iy$ como:
$\vert z \vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$
Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ , se tiene:
$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$
Y tambièn
$z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_+iy_2)$
$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2-y_1 \cdot y_2)+i(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$
Se tomará ambas expresiones como la definición de la adición y la multiplicación.
La noción de longitud o valor absoluto de un número complejo es idéntica a la noción de longitud del plano Euclídeo. Se define como el valor absoluto o módulo de un número complejo $z=x+iy$ como:
$\vert z \vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$
División
Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ números complejos. Se define a la división $z_1/z_2$ como:
$\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=z_1 \frac{1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2 \vert ^2}$
$\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=z_1 \frac{1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2 \vert ^2}$
Forma Polar
Sea $z=x+iy$ , tenemos:
$sen\theta = \frac{y}{r} \rightarrow y=rsen\theta$
$cos\theta = \frac{x}{r} \rightarrow x=rcos\theta$
$z=x+iy=r(cos\theta + isen\theta) $
$\boxed{z=r\cdot cis\theta}$
Se dice que $\theta$ es el argumento de $z$ , en otras palabras $Arg(z)=\theta$.
Sea $z=x+iy$ , tenemos:
$sen\theta = \frac{y}{r} \rightarrow y=rsen\theta$
$cos\theta = \frac{x}{r} \rightarrow x=rcos\theta$
$z=x+iy=r(cos\theta + isen\theta) $
$\boxed{z=r\cdot cis\theta}$
Se dice que $\theta$ es el argumento de $z$ , en otras palabras $Arg(z)=\theta$.
Multiplicación y División en Forma Polar
Sean $z_1=r_1 cis \theta_1$ y $z_2=r_2 cis\theta_2$:
$\boxed{z_1z_2=r_1r_2 cis(\theta_1+\theta_2)} $
$\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\theta_1-\theta_2)}$
Sean $z_1=r_1 cis \theta_1$ y $z_2=r_2 cis\theta_2$:
$\boxed{z_1z_2=r_1r_2 cis(\theta_1+\theta_2)} $
$\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\theta_1-\theta_2)}$
Potencias y Raíces
Basándonos en el resultado del producto de dos números complejos, para las potencias enteras de un número complejo $z=x+iy=rcis\theta$, podemos observar:
$\boxed{z^n=r^n cis(n\theta)}$
este resultado es válido para todo $n$ entero sea positivo o negativo.
Cuando $z=cos\theta+isen\theta$ se tiene que $r=1$ por lo tanto:
$\boxed{(cos\theta+isen\theta)^n=cos(n\theta)+isen(n\theta)}$
Que se conoce como Fórmula de Demoivre.
La raíz de un número complejo se puede calcular usando la siguiente formula:
$\boxed{w=r^{1/n}\left[cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i sen\left( \frac{\theta+2\pi k}{n}\right) \right]}$
$\boxed{z^n=r^n cis(n\theta)}$
este resultado es válido para todo $n$ entero sea positivo o negativo.
Cuando $z=cos\theta+isen\theta$ se tiene que $r=1$ por lo tanto:
$\boxed{(cos\theta+isen\theta)^n=cos(n\theta)+isen(n\theta)}$
Que se conoce como Fórmula de Demoivre.
La raíz de un número complejo se puede calcular usando la siguiente formula:
$\boxed{w=r^{1/n}\left[cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i sen\left( \frac{\theta+2\pi k}{n}\right) \right]}$
Exponencial Compleja
La siguiente fórmula, descrita primero por Leonhard Euler extiende el concepto de la función exponencial al campo de los números complejos como:
$\boxed{e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta}$
Que se conoce como Fórmula de Euler. A partir de esta es posible obtener dos resultados interesantes. Si sumamos $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ observamos que:
$e^{i\theta}=cos\theta + isen\theta$
$e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta$
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$
$\rightarrow \boxed{cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$
Ahora. si restamos $e^{-i\theta}$ de $e^{\theta}$:
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isen\theta$
$\rightarrow \boxed{sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{i}}$
Una vez demostrada la forma exponencial de un número complejo, obtenemos su nueva representación:
$\boxed{z=r e^{i\theta}}$
La siguiente fórmula, descrita primero por Leonhard Euler extiende el concepto de la función exponencial al campo de los números complejos como:
$\boxed{e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta}$
Que se conoce como Fórmula de Euler. A partir de esta es posible obtener dos resultados interesantes. Si sumamos $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ observamos que:
$e^{i\theta}=cos\theta + isen\theta$
$e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta$
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$
$\rightarrow \boxed{cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$
Ahora. si restamos $e^{-i\theta}$ de $e^{\theta}$:
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isen\theta$
$\rightarrow \boxed{sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{i}}$
Una vez demostrada la forma exponencial de un número complejo, obtenemos su nueva representación:
$\boxed{z=r e^{i\theta}}$
Logaritmos Complejos
Sea $z=re^{i\theta}$
$ln(z)=ln(re^{i\theta}=ln(r)+i\theta$
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i\theta}$ Valor Principal
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i(\theta+2\pi k)}$ Valor General
Funciones de Variable Compleja
Son aquellas funciones cuyo dominio es el conjunto de los números complejos . La imagen $w$ de una función de variable compleja es:
$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
Donde $u$ y $v$ son la parte real e imaginaria y son funciones de variable real
Límites y Continuidad
la definición del límite de una función compleja $f(z)$ cuando $z \rightarrow z_0$ tiene la misma apariencia que el límite de las variables reales.
Límite de una Función
Si una función $f$ está definida en una vecindad de $z_0$ excepto posiblemente en el mismo $z_0$. Entonces se dice que $f$ posee un límite en $z_0$ y se expresa como:
\begin{equation*}
\boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} = L}
\end{equation*}
si, para cada $\epsilon > 0$, existe una $\delta >0$ tal que $\vert f(z)-L \vert < \epsilon$ siempre que $0 < \vert z-z_0 \vert < \delta$
Propiedades
Si \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = L \end{equation*} y \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = K \end{equation*} entonces:
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} [f(z)+g(z)]=\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) + \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L+K \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} \alpha f(z) = \alpha \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = \alpha L \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = LK \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z)/g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) / \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L/K \end{equation*}
Continuidad
Se dice que una función de variable compleja es continua si:
\begin{equation*} \boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)} \end{equation*}
Derivada de Funciones Complejas
Decimos que $f(z)$ es derivable en $z_0$ si y solo si:
\begin{equation*} \exists \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \end{equation*}
O también si:
\begin{equation*} \boxed{f'(z)=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} \end{equation*}
Las derivadas de las funciones de variable compleja son análogas a las funciones de variable real.
Propiedades
Si $\exists f'(z)$ y $\exists g'(z)$
$(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$
$(\alpha f)'(z)=\alpha f'(z)$
$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
\begin{equation*} \left( \frac{f}{g}\right) '(z)=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \end{equation*}
Para mayor información, consultar los siguientes enlaces:
1. Introducción a los números complejos 9 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/introduccion-los-numeros-complejos.html
2. División de números complejos y ejercicios 13 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/division-de-numeros-complejos-y.html
3. Forma Polar, Exponencial y Logaritmo 16 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/forma-polar-y-forma-exponencial-de-un.html
4. Ejercicios de Repaso 20 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/ejercicios-de-repaso.html
Sea $z=re^{i\theta}$
$ln(z)=ln(re^{i\theta}=ln(r)+i\theta$
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i\theta}$ Valor Principal
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i(\theta+2\pi k)}$ Valor General
Funciones de Variable Compleja
Son aquellas funciones cuyo dominio es el conjunto de los números complejos . La imagen $w$ de una función de variable compleja es:
$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
Donde $u$ y $v$ son la parte real e imaginaria y son funciones de variable real
Límites y Continuidad
la definición del límite de una función compleja $f(z)$ cuando $z \rightarrow z_0$ tiene la misma apariencia que el límite de las variables reales.
Límite de una Función
Si una función $f$ está definida en una vecindad de $z_0$ excepto posiblemente en el mismo $z_0$. Entonces se dice que $f$ posee un límite en $z_0$ y se expresa como:
\begin{equation*}
\boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} = L}
\end{equation*}
\boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} = L}
\end{equation*}
si, para cada $\epsilon > 0$, existe una $\delta >0$ tal que $\vert f(z)-L \vert < \epsilon$ siempre que $0 < \vert z-z_0 \vert < \delta$
Propiedades
Si \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = L \end{equation*} y \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = K \end{equation*} entonces:
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} [f(z)+g(z)]=\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) + \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L+K \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} \alpha f(z) = \alpha \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = \alpha L \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = LK \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z)/g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) / \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L/K \end{equation*}
Continuidad
Se dice que una función de variable compleja es continua si:
\begin{equation*} \boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)} \end{equation*}
Derivada de Funciones Complejas
Decimos que $f(z)$ es derivable en $z_0$ si y solo si:
\begin{equation*} \exists \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \end{equation*}
O también si:
\begin{equation*} \boxed{f'(z)=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} \end{equation*}
Las derivadas de las funciones de variable compleja son análogas a las funciones de variable real.
Propiedades
Si $\exists f'(z)$ y $\exists g'(z)$
$(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$
$(\alpha f)'(z)=\alpha f'(z)$
$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
\begin{equation*} \left( \frac{f}{g}\right) '(z)=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \end{equation*}
Para mayor información, consultar los siguientes enlaces:
1. Introducción a los números complejos 9 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/introduccion-los-numeros-complejos.html
2. División de números complejos y ejercicios 13 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/division-de-numeros-complejos-y.html
3. Forma Polar, Exponencial y Logaritmo 16 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/forma-polar-y-forma-exponencial-de-un.html
4. Ejercicios de Repaso 20 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/ejercicios-de-repaso.html
2. División de números complejos y ejercicios 13 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/division-de-numeros-complejos-y.html
3. Forma Polar, Exponencial y Logaritmo 16 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/forma-polar-y-forma-exponencial-de-un.html
4. Ejercicios de Repaso 20 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/ejercicios-de-repaso.html
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