Resumen

Los números complejos son una generalización de los números reales especialmente útiles en muchas ramas de las matemáticas puras y de la física. El matemático italiano Gerolamo Cardano es el primero de quien se sabe que introdujo el concepto de números complejos; estos fueron popularizados posteriormente por Karl Friedrich Gauss y Leonhard Euler.

La notación usada para representar a los números complejos es:

$z=x+iy$

Donde $x$ y $y$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2=-1$

Es también muy común encontrar la siguiente notación:

$x=Re(z)$      $y=Im(z)$

Los números reales son precisamente aquellos complejos cuya parte imaginario es cero. Se dice que un número complejo cuya parte real es nula, es un imaginario puro. 

Los números complejos pueden ser visualizados de manera más simple en un plano Euclídeo haciendo las siguientes identificaciones: el número complejo $z=x+iy \in \mathbb{C}$ se le asigna un punto $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Naturalmente el eje $x$ y el eje $y$ de $\mathbb{R}^{2}$ son los llamados eje real y eje imaginario respectivamente.

Operaciones con números complejos

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ , se tiene:

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

Y tambièn

$z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_+iy_2)$

$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2-y_1 \cdot y_2)+i(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

Se tomará ambas expresiones como la definición de la adición y la multiplicación.

La noción de longitud o valor absoluto de un número complejo es idéntica a la noción de longitud del plano Euclídeo. Se define como el valor absoluto o módulo de un número complejo $z=x+iy$ como:

$\vert z \vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$

División 

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ números complejos. Se define a la división $z_1/z_2$ como:

$\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=z_1 \frac{1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2 \vert ^2}$

Forma Polar

Sea $z=x+iy$ , tenemos:

$sen\theta = \frac{y}{r} \rightarrow  y=rsen\theta$

$cos\theta = \frac{x}{r} \rightarrow x=rcos\theta$

$z=x+iy=r(cos\theta + isen\theta) $

$\boxed{z=r\cdot cis\theta}$

Se dice que $\theta$ es el argumento de $z$ , en otras palabras $Arg(z)=\theta$.

Multiplicación y División en Forma Polar

Sean $z_1=r_1 cis \theta_1$ y $z_2=r_2 cis\theta_2$:

$\boxed{z_1z_2=r_1r_2 cis(\theta_1+\theta_2)} $

$\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\theta_1-\theta_2)}$

Potencias y Raíces

Basándonos en el resultado del producto de dos números complejos, para las potencias enteras de un número complejo $z=x+iy=rcis\theta$, podemos observar:

$\boxed{z^n=r^n cis(n\theta)}$

este resultado es válido para todo $n$ entero sea positivo o negativo.

Cuando $z=cos\theta+isen\theta$ se tiene que $r=1$ por lo tanto:

$\boxed{(cos\theta+isen\theta)^n=cos(n\theta)+isen(n\theta)}$

Que se conoce como Fórmula de Demoivre.

La raíz de un número complejo se puede calcular usando la siguiente formula:

$\boxed{w=r^{1/n}\left[cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i sen\left( \frac{\theta+2\pi k}{n}\right) \right]}$

Exponencial Compleja

La siguiente fórmula, descrita primero por Leonhard Euler extiende el concepto de la función exponencial al campo de los números complejos como:

$\boxed{e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta}$

Que se conoce como Fórmula de Euler. A partir de esta es posible obtener dos resultados interesantes. Si sumamos $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ observamos que:

$e^{i\theta}=cos\theta + isen\theta$

$e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta$

$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$

$\rightarrow  \boxed{cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$

Ahora. si restamos $e^{-i\theta}$ de $e^{\theta}$:

$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isen\theta$

$\rightarrow  \boxed{sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{i}}$

Una vez demostrada la forma exponencial de un número complejo, obtenemos su nueva representación:

$\boxed{z=r e^{i\theta}}$

Logaritmos Complejos

Sea $z=re^{i\theta}$

$ln(z)=ln(re^{i\theta}=ln(r)+i\theta$

$\boxed{ln(z)=ln(r)+i\theta}$   Valor Principal

$\boxed{ln(z)=ln(r)+i(\theta+2\pi k)}$  Valor General

Funciones de Variable Compleja

Son aquellas funciones cuyo dominio es el conjunto de los números complejos . La imagen $w$ de una función de variable compleja es:

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

Donde $u$ y $v$ son la parte real e imaginaria y son funciones de variable real

Límites y Continuidad

la definición del límite de una función compleja $f(z)$ cuando $z \rightarrow z_0$ tiene la misma apariencia que el límite de las variables reales.

Límite de una Función

Si una función $f$ está definida en una vecindad de $z_0$ excepto posiblemente en el mismo $z_0$. Entonces se dice que $f$ posee un límite en $z_0$ y se expresa como:

\begin{equation*}
\boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} = L}
\end{equation*}

si, para cada $\epsilon > 0$, existe una $\delta >0$ tal que $\vert f(z)-L \vert < \epsilon$ siempre que $0 < \vert z-z_0 \vert < \delta$

Propiedades

Si \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = L \end{equation*} y \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = K \end{equation*} entonces:

\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} [f(z)+g(z)]=\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) + \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L+K \end{equation*}

\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} \alpha f(z) = \alpha \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = \alpha L \end{equation*}

\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = LK \end{equation*}

\begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} f(z)/g(z) = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) / \lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = L/K  \end{equation*}

Continuidad

Se dice que una función de variable compleja es continua si:

\begin{equation*} \boxed{\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)} \end{equation*}

Derivada de Funciones Complejas

Decimos que $f(z)$ es derivable en $z_0$ si y solo si:

\begin{equation*} \exists \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \end{equation*}

O también si:

\begin{equation*} \boxed{f'(z)=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} \end{equation*}

Las derivadas de las funciones de variable compleja son análogas a las funciones de variable real.

Propiedades 

Si $\exists f'(z)$ y $\exists g'(z)$

$(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$

$(\alpha f)'(z)=\alpha f'(z)$

$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$

\begin{equation*} \left( \frac{f}{g}\right) '(z)=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \end{equation*}

Para mayor información, consultar los siguientes enlaces:

1. Introducción a los números complejos  9 de abril de 2015

http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/introduccion-los-numeros-complejos.html

2. División de números complejos y ejercicios  13 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/division-de-numeros-complejos-y.html

3. Forma Polar, Exponencial y Logaritmo   16 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/forma-polar-y-forma-exponencial-de-un.html

4. Ejercicios de Repaso   20 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/ejercicios-de-repaso.html

Mayo

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Son dos ecuaciones que deben satisfacer las primeras derivadas parciales de las funciones componentes $u$ y $v$ de una función $f(z)=u(x,y)+v(x,y)$ en un punto $z_0=(x_0,y_0)$ para que exista en el la derivada de $f$, Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$   y   $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Se dice también que si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es una función compleja definida en alguna región $D$ que contiene al punto $z_0$ y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a $x$ e $y$, y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en $z_0$, entonces $f'(z_0)$ existe.

Funciones Analíticas

Sea $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ analítica en el punto $z_0 \in D$, si $f$ está definida y es variable en alguna vecindad, es decir $f$ es analítica en $z_0$ si $\exists V_\rho (z_0)$ tal que $f$ está definida en $V_\rho (z_0)$ y $\exists f'(z_0)$, $\forall z \in V_ \rho (z_0)$.

Observaciones:

• A las funciones analíticas también se les llama función regular u holomorfa.
• La derivada de una función analítica también es analítica, entonces tiene derivadas analíticas de todos los órdenes.

Funciones Armónicas

Si la función $(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es analítica en $D$ entonces:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$   y   $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2 v}{\partial y \partial x}$   y   $\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial ^2 v}{\partial y \partial x}$ 

Entonces:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$

$\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0$

Por lo tanto las partes real e imaginaria de una función compleja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ analíticas son soluciones de la ecuación de Laplace, donde:

$\nabla ^2 u =\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$

$\nabla^2 v=\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0$

Toda función $F(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ que satisface las ecuaciones de Laplace se llaman "Funciones armónicas" y $F(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es analítica, entonces $u$ y $v$ se llaman "conjugadas armónicas".

Funciones Trascendentes Básicas

La Función Exponencial

La función $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, definida por $f(z)=e^z$ se llama función exponencial en $z$.

Propiedades

• $f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^x( cos y+i sen y)$
• $e^{-iy}=cos y-i seny$
• $\forall z_1 , z_2 \in \mathbb{C}; e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
• $\forall z_1 , z_2 \in \mathbb{C}; \frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=e{z_1-z_2}$
• $\forall z \in \mathbb{C}; (e^z)^n =e^{nz}$

Funciones Trigonómetricas

\begin{equation*} \boxed{cos (y)=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}} \end{equation*}

\begin{equation*} \boxed{ sen(y)=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}} \end{equation*}

Propiedades

• $cos(z)=cosh(y) \cdot cos(x)-i senh(y) \cdot sen(x)$
• $sen(z)=cosh(y) \cdot sen(x)+i senh(y) \cdot cos(x)$

Funciones Hiperbólicas

\begin{equation*} \boxed{ senh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2},cosh(z) = \frac{e^z+e^{-z}}{2}} \end{equation*}

Propiedades

• $senh(iz)=i sen(z)$
• $cosh(iz)=cos(z)

La Función Logarítmica

Sea $z \in \mathbb{C}$, si $z=e^w$, entonces definimos $w$ como el logaritmo natural de $z$ que se denota por $ln(z)=w$, conociendo $z$ podemos determinar $w$, un número finito de valores correspondientes para $w$

$ \boxed{ln(z)= ln(r)+(\theta+2k \pi)i, k \in z}$

Propiedades

• $ln(zw)=ln(z)+ln(w)$
• $ln(\frac{z}{w})=ln(z)-ln(w)$
• $ln(z^n)=n\cdot ln(z)$

Integración Compleja

Consideremos una función compleja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{C}$ tal que:

$f(t)=Re(f(t))+i Im(f(t))$

Entonces se define a la integral en la forma:

\begin{equation*} \boxed{\int_a ^b f(t)dt= \int_a ^b Re(f(t))dt+i \int_a ^b Im(f(t))dt }\end{equation*}

Integrales Curvilíneas en $\mathbb{C}$ 

Consideremos una curva $\gamma \subset \mathbb{C}$ y una función $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, tal que $\gamma \subset D$ donde $f$ es inyectiva y continua por lo menos sobre la curva $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} \int_\gamma f(z)dz=\int_a ^b f(z(t))\cdot z'(t) dt \end{equation*}

Propiedades

• \begin{equation*} \int_\gamma \alpha F(z) dz =\alpha \int_\gamma F(z)dz \end{equation*}
• \begin{equation*} int_\gamma [F(z)+G(z)]dz=\int_\gamma F(z)dz +\int_\gamma G(z)dz end{equation*}
•  Si se subdivide $\gamma$ en $n$ curvas $\gamma_1 , \gamma_ , \gamma_3 , ... , \gamma_n$ tal que $\gamma=\gamma_1 U \gamma_2 U \gamma_3 U ... U \gamma_n$, entonces:

\begin{equation*} \int_\gamma F(z)dz = \sum_{i=1} ^{n} \int_{\gamma_i} F(z)dz \end{equation*}

Teorema de la Integral de Cauchy

Sea $F$ una función analítica en $D$, un dominio simplemente conexo y $\gamma$ una curva simple, entonces:

\begin{equation*} \oint_\gamma F(z)dz=0 \end{equation*}

Si $F$ es analítica en su dominio simplemente conexo D, entonces:

\begin{equation*} \int F(z)dz \end{equation*}

Es independiente de la trayectoria en D y:

\begin{equation*} \int_{\gamma_1} F(z)dz = \int_{\gamma_2} F(z) dz \end{equation*}

Teorema de la Deformación

Sea $F$ una función analítica excepto en $z_0$ y sean $\Omega$ y $\gamma$ curvas cerradas simples que encierran $z_0$, entonces:

\begin{equation*} \oint_\gamma F(z) dz= \oint_\Omega F(z)dz \end{equation*}

Fórmula Integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy indica que si $f$ es una función analítica en el interior y sobre los puntos de una curva simple $\gamma$, los valores interiores de $\gamma$ están completamente determinados por los valores de $f$ sobre $\gamma$.

Sea $F(z)$ una función analítica en el de una región de $R$ y de $\gamma$ una curva simple, si $z_0$ es un punto interior a $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} F(z_0)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{F(z)}{z-z_0}dz \end{equation*}  

\begin{equation*} \oint \frac{F(z)}{z-z_0}dz=2\pi i F(z_0) \end{equation*}

Fórmula Integral de Cauchy para las derivadas de orden superior

Sea $F$ analítica en D simplemente conexo y sea $z_0$ en D, entonces $F$ tiene derivadas de todos los órdenes en $z_0$, por la tanto:

\begin{equation*} f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint \frac{F(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \end{equation*}

\begin{equation*} \oint \frac{F(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}F^{(n)}(z_0) \end{equation*} 

Ejercicios de repaso

1. Hallar las soluciones reales de las ecuaciones
a) $(3x-1)(2+i)+(x-iy)(1+2i)=5+6i$

Desarrollo

$(3x-1)(2+i)+(x-iy)(1+2i)=5+6i$
$(3x-1)(2)+(3x-1)i+(x+2y)+(2x-y)i=5+6i$
$6x-2+3xi-i+x+2y+2xi-yi=5+6i$
$(7x-2+2y)+(5x-1-y)i=5+6i$

$\{_{5x-1-y=6}^{7x-2+y=5}  $ $\rightarrow$  $\{_{5x-y=7}^{7x+2y=7}$

$\boxed{x=\frac{21}{17}}$   $\boxed{y=\frac{-14}{17}}$

b) $(x-iy)(a+ib)=i^5$ donde $a,b \in \mathbb{R}$ y $\vert a \vert \not=\vert b \vert$

Desarrollo

$(x-iy)(a-ib)=i^5$
$(ax-by)+(-bx-ay)i=i$

$\{_{bx+ay=-1}^{ax-by=0}$

$x=\frac{b}{a}\cdot y$

$\rightarrow b(\frac{b}{a}\cdot y)+ay=-1$
$\frac{b^2}{a}\cdot y+ay=-1$
$y(\frac{b^2+a^2}{a})=-1$
$\boxed{y=-\frac{a}{a^2+b^2}}$

$x=\frac{b}{a}(-\frac{a}{a^2+b^2})$
$\boxed{x=-\frac{b}{a^2+b^2}}$

2. Resolver  $\{_{(2+i)x+(2-i)y=2i}^{(1+i)x-iy=2}$

Desarrollo

Usando la regla de Cramer tenemos:

$
\begin{pmatrix}
i+i  &  -i  \\
2+i  &  2-i  \\
\end{pmatrix}
$ $\cdot$  $
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}
$ $=$  $
\begin{pmatrix}
2 \\
2i \\
\end{pmatrix}
$

$\vert A \vert=$ $\left| \begin{array}{crl}
1+i  & -i  \\
2+i  &  2-i
\end{array}\right| $ $=2+3i$

$\vert A_x \vert=$ $\left|  \begin{array}{crl}
2  &  -i  \\
2i  &  2-i
\end{array}\right| $ $=2-2i$

$\vert A_y \vert=$ $\left| \begin{array}{crl}
1+i  &  2  \\
2+i  &  2i
\end{array}\right| $ $=-6$

$x=\frac{\vert A_x\vert}{\vert A\vert}=\frac{2-2i}{2+3i}=\frac{-2-10i}{13}$
$\boxed{x=-\frac{2}{13}-\frac{10}{13}i}$


$y=\frac{\vert A_y\vert}{\vert A\vert}=\frac{-12+18i}{13}$
$\boxed{y=-\frac{12}{13}+\frac{18}{13}i}$

3. Comprobar que
a) $\frac{5}{(1-i)(2-i)(3-i)}=\frac{i}{2}$

Desarrollo

$\frac{5}{(i-i)(2-i)(3-i)}=\frac{5}{(1-3i)(3-i)}=\frac{5}{-10i}=\boxed{\frac{i}{2}}$

b) $\frac{1+2i}{3-4i}+\frac{2-i}{5i}=-\frac{2}{5}$

Desarrollo

$\frac{1+2i}{3-4i}+\frac{2-i}{5i}=\frac{(1+2i)(3-4i)}{25}-\frac{(2-i)i}{5}=\frac{-5+10i}{25}-\frac{1+2i}{5}=\frac{-1+2i}{5}-\frac{1+2i}{5}=\boxed{-\frac{2}{5}}$

4. Calcular $\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}$ para $n\in \mathbb{Z^+}$

Desarrollo

$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\left( \frac{1+i}{1-i} \right)^n \cdot (1-i)^2=\left( \frac{(1+i)^2}{2} \right) ^n \cdot (1-i)^2=i^n \cdot (1-i)^2=1^n \cdot (-2i)=\boxed{-2i^{n+1}}$

5. Simplificar $(1+cos\theta+i sen\theta)^n+(1+cos\theta-i sen\theta)^n$

Desarrollo

$(1+cos\theta +i sen\theta)^n+(1+cos\theta -i sen\theta)^n$

Utilizando las identidades:

$2cos^2(\frac{\theta}{2})=1+cos\theta$
$sen\theta=2cos(\frac{\theta}{2}) sen(\frac{\theta}{2})$

La primera expresión se transforma en:
$(1+cos\theta+i sen\theta)^n+(1+cos\theta-i sen\theta)^n=[2cos^2 (\frac{\theta}{2})+i\cdot sen(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2})]^n+[2cos^2(\frac{\theta}{2})-i\cdot sen(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2})]^n$
$=2^n cos^n(\frac{\theta}{2})[(cos(\frac{\theta}{2})+i sen(\frac{\theta }{2}))^n+(cos(\frac{\theta}{2})-i sen(\frac{\theta}{2}))^n]$
$=2^ncos^n (\frac{\theta}{2})[cos(\frac{n\theta}{2})+i sen(\frac{n\theta}{2})+cos(\frac{n\theta}{2})-i sen(\frac{n\theta}{2})]$
$=2^n cos^n (\frac{\theta}{2})[cos(\frac{n\theta}{2})]$
$=\boxed{2^{n+1}cos^n(\frac{\theta}{2}) cos(\frac{n\theta}{2})}$

Forma Polar y Forma Exponencial de un Número Complejo-Logaritmo de un Número Complejo

Forma Polar

Sea $z=x+iy$ , tenemos:

$sen\theta = \frac{y}{r} \rightarrow  y=rsen\theta$

$cos\theta = \frac{x}{r} \rightarrow x=rcos\theta$

$z=x+iy=r(cos\theta + isen\theta) $

$\boxed{z=r\cdot cis\theta}$

Se dice que $\theta$ es el argumento de $z$ , en otras palabras $Arg(z)=\theta$.

Multiplicación y División en Forma Polar

Sean $z_1=r_1 cis \theta_1$ y $z_2=r_2 cis\theta_2$:

$z_1z_2=(r_1cis\theta_1)(r_2cis\theta_2)$
$z_1z_2=r_1r_2(cos\theta_1 cos\theta2+i cos\theta_1 sen\theta_2+i sen\theta_1 cos\theta_2-sen\theta_1 sen\theta_2) $
$z_1z_2=r_1r_2[(cos\theta_1 cos\theta_2-sen\theta_1 sen\theta_2)+i(cos\theta_1 sen\theta_2+sen\theta_1cos\theta_2)]$
$z_1z_2=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isen(\theta_1+\theta_2)]$

$\boxed{z_1z_2=r_1r_2 cis(\theta_1+\theta_2)} $

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cos\theta_1 +i sen\theta_1)}{r_2(cos\theta_2 +i sen\theta_2)} = \frac{r_1(cos\theta_1 + i sen\theta_1)}{r_2(cos\theta_2+i sen\theta_2)}\frac{cos\theta_2-i sen\theta_2}{cos\theta_2-i sen\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\cdot $ $(cos\theta_1 sen\theta_2-icos\theta_1sen\theta_2+isen\theta_1sen\theta_2+sen\theta_1sen\theta_2) $
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot$ $[(cos\theta_1sen\theta_1+sen\theta_1sen\theta_2)+i(-cos\theta_1sen\theta_2+sen\theta_1sen\theta_2)]=$ $\frac{r_1}{r_2} \cdot$ $[cos(\theta_1-\theta_2)+isen(\theta_1-\theta_2)]$

$\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\theta_1-\theta_2)}$

Potencias y Raíces

Basándonos en el resultado del producto de dos números complejos, para las potencias enteras de un número complejo $z=x+iy=rcis\theta$, podemos observar:

$z^2=(rcis\theta)(rcis\theta)=r^2cis(2\theta)$
$z^3=z^2 z=(r^2cis(2\theta))(rcis\theta)=r^3cis(3\theta)$
$\cdot$
$\cdot$
$\cdot$
$z^n=[r^{n-1}cis((n-1)\theta)](rcis\theta)=r^ncis(n\theta)$

$\boxed{z^n=r^n cis(n\theta)}$

este resultado es válido para todo $n$ entero sea positivo o negativo.
Cuando $z=cos\theta+isen\theta$ se tiene que $r=1$ por lo tanto:

$\boxed{(cos\theta+isen\theta)^n=cos(n\theta)+isen(n\theta)}$

Que se conoce como Fórmula de Demoivre.

Se dice que cierto número $w$ es una raíz enésima de un número complejo no nulo si $w^n=z$. Si $w=\rho(cos\phi+isen\phi)$ y $z=r(cos\theta+isen\theta)$, entonces $w^n=z$ toma la forma:

$\rho^n(cos(n\phi)+isen(n\phi))=r(cos\theta+isen\theta)$

La primera conclusión obtenida a partir de esta identidad es que $\rho^n=r \rightarrow \rho=r^{1/n}$. Luego:

$cos(n\phi)+isen(n\phi)=cos\theta+isen\theta$

$\rightarrow  cos(n\phi)=cos\theta$   y   $sen(n\phi)=sen\theta$

Al resolver ambas igualdades se obtiene:

$\phi=\frac{\theta + 2k\pi}{n}$

Donde $k=1,2,3,...,n-1$. Se puede unificar los resultados anteriores en una sola expresión que nos provee la fórmula para calcular la raíz enésima de un número complejo:

$\boxed{w=r^{1/n}\left[cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i sen\left( \frac{\theta+2\pi k}{n}\right) \right]}$

Exponencial Compleja

La serie de Maclaurin para la función exponencial es:

\begin{equation*}
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
\end{equation*}

Si hacemos que $x=i\theta$ hallamos:

\begin{equation*}
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\theta)^n}{n!}= 1+(i\theta)+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}
\begin{equation*}
e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot=\left( 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdot \cdot \cdot \right) +i\left( \theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot \right)
\end{equation*}

Si recordamos las series de Maclaurin para la función seno y coseno:

\begin{equation*}
sen(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}
\begin{equation*}
cos(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}

Podemos observar que la parte real del desarrollo de $e^{i\theta}$ es la serie de Maclaurin del $cos(\theta)$ y la parte imaginaria es la serie de Maclaurin del $sen(\theta)$. Finalmente escribimos:

$\boxed{e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta}$

Que se conoce como Fórmula de Euler. A partir de esta es posible obtener dos resultados interesantes. Si sumamos $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ observamos que:

$e^{i\theta}=cos\theta + isen\theta$

$e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta$

$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$

$\rightarrow  \boxed{cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$

Ahora. si restamos $e^{-i\theta}$ de $e^{\theta}$:

$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isen\theta$

$\rightarrow  \boxed{sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{i}}$

Nótese que si de ambas fórmulas "borramos" el número $i$, llegamos a las definiciones del coseno y del seno hiperbólico respectivamente.
Una vez demostrada la forma exponencial de un número complejo, obtenemos su nueva representación:

$\boxed{z=r e^{i\theta}}$

Logaritmos Complejos

Sea $z=re^{i\theta}$

$ln(z)=ln(re^{i\theta}=ln(r)+i\theta$
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i\theta}$   Valor Principal
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i(\theta+2\pi k)}$  Valor General

División de números complejos y Ejercicios

División 

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ números complejos. Se define a la división $z_1/z_2$ como:

$\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=z_1 \frac{1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2 \vert ^2}$

Ejemplos

1. $\frac{\overline{i+i}}{i}$

Desarrollo

$\frac{\overline{i+1}}{i}=\frac{1-i}{i} \frac{i}{i}=\frac{i-i^2}{-1}=\frac{1+i}{-1}=-1-i$

2. Demostrar que $\vert z-\frac{3}{4} \vert = \frac{1}{4}$   si $z=\frac{i-a}{1+2ai}$

Desarrollo

$z=\frac{i-a}{1+2ai}=\frac{(-a-i)(1-2ai)}{1+4a^2}=\frac{2a+(2a^2+1)i}{1+4a^2}=\frac{a}{1+4a^2}+\frac{2a^2+1}{1+4a^2}i$

$z-\frac{3}{4}=\frac{a}{1+4a^2}+( \frac{2a^2+1}{1+4a^2}-\frac{3}{4})i = \frac{a}{1+4a^2}+\frac{1-4a^2}{4(1+4a^2)}i$

$\vert z-\frac{3}{4} \vert = \sqrt{\frac{a^2}{(1+4a^2)^2}+\frac{(1-4a^2)^2}{16(1+4a^2)^2}}=\sqrt{\frac{16a^4+8a^2+1}{16(1+4a^2)^2}}=\sqrt{\frac{(4a^2+1)^2}{16(1+4a^2)}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

3. Describir y construir la gráfica del lugar geométrico representado por:

a) $\vert z-z_0 \vert = r $

Desarrollo

Sea $z=x+iy$

$\vert z-z_0 \vert = \vert x+iy-z_0 \vert = \vert (x-z_0)+iy \vert = r $

$\sqrt{(x-z_0)^2+y^2}= r $

$ (x-z_0)^2+y^2 = r^2 $

Es una circunferencia de centro $(z_0,0)$ 

b)  $Im(z^2)=4$

Desarrollo

$Im(z^2)=Im( (x^2-y^2)+2xyi ) = 4$

Debido a que $Im(z)$ devuelve el número real que multiplica a $i$ , tenemos:

$Im( x^2+y^2+2xyi ) = 4 $

$2xy=4$

$y=\frac{2}{x}$ 

Es la ecuación de una hipérbola rotada

c)  $\vert z+2i \vert + \vert z-2i \vert = 6$

Desarrollo

$\vert z+2i \vert + \vert z-2i \vert = 6 $

$\sqrt{x^2+(y+2)^2}+\sqrt{x^2+(y-2)^2}= 6$

$\sqrt{x^2+(y+2)^2} = 6-\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$x^2+(y+2)^2=36-12\sqrt{x^2+(y-2)^2}+x^2+(y-2)^2$

$(y+2)^2-(y-2)^2 = 36-12\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$8y-36 = -12\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$2y-9=-3\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$4y^2-36y+81=9x^2+9y^2-36y+36$

$-9x^2-5y^2=-45$

$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$

Es la ecuación de una elipse centrada en el origen paralela al eje y

4. Encontrar el módulo de $\frac{1+cos\theta+isen\theta}{1-cos\theta+isen\theta}$

Desarrollo

$\frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta} = \frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta}  \frac{(1-cos\theta)-isen\theta}{(1-cos\theta)-isen\theta}=\frac{((1+cos\theta)(1-cos\theta)+sen^2\theta)+(-sen\theta(1+cos\theta)+sen\theta(1-cos\theta))i}{(1-cos\theta)^2+sen^2\theta}$

$\frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta}=\frac{2sen^2\theta-2sen\theta cos\theta i}{1-2cos\theta +1}=\frac{2sen^2\theta-2sen\theta cos\theta i}{2-2cos \theta}=\frac{sen^2\theta-sen\theta cos\theta i}{1-cos\theta}=\frac{sen\theta}{1-cos\theta} (sen\theta-cos \theta i)$

$\vert \frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta} \vert=\frac{sen\theta}{1-cos\theta} \sqrt{sen^2\theta + cos^2\theta}=\frac{sen\theta}{1-cos\theta}$

Introducción a los Números Complejos

Los números complejos son una generalización de los números reales especialmente útiles en muchas ramas de las matemáticas puras y de la física. El matemático italiano Gerolamo Cardano es el primero de quien se sabe que introdujo el concepto de números complejos; estos fueron popularizados posteriormente por Karl Friedrich Gauss y Leonhard Euler.

La notación usada para representar a los números complejos es:

$z=x+iy$

Donde $x$ y $y$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2=-1$

Es también muy común encontrar la siguiente notación:

$x=Re(z)$      $y=Im(z)$

Los números reales son precisamente aquellos complejos cuya parte imaginario es cero. Se dice que un número complejo cuya parte real es nula, es un imaginario puro. 

Los números complejos pueden ser visualizados de manera más simple en un plano Euclídeo haciendo las siguientes identificaciones: el número complejo $z=x+iy \in \mathbb{C}$ se le asigna un punto $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Naturalmente el eje $x$ y el eje $y$ de $\mathbb{R}^{2}$ son los llamados eje real y eje imaginario respectivamente.

Operaciones con números complejos

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ , se tiene:

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

Y tambièn

$z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_+iy_2)$

$z_1z_2=x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_+i^{2}y_1y_2$

$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$

Se tomará ambas expresiones como la definición de la adición y la multiplicación. Por lo tanto se puede verificar las siguientes propiedades:

• Conmutatividad: $z_1+z_2=z_2+z_1$ y $z_1z_2=z_2z_1$ para todo $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$
• Asociatividad: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ y $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$ para $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$
• Distributividad: $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$ para todo $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$

La noción de longitud o valor absoluto de un número complejo es idéntica a la noción de longitud del plano Euclídeo. Se define como el valor absoluto o módulo de un número complejo $z=x+iy$ como:

$\vert z \vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$

Otro útil concepto es el del conjugado complejo de un $z=x+iy$ que esta definido de la siguiente manera:

$\overline{z}=x-iy$

Además de todo lo citado anteriormente, existen otras propiedades que definen al cuerpo de los números complejos como un campo. dichas propiedades son:

Existencia del inverso aditivo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $-z$ tal que:

$z+(-z)=0$ 

Existencia del elemento neutro aditivo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $w=0+i0$ tal que:

$z+w=z$

Existencia del elemento neutro multiplicativo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $w=1+i0$ tal que:

$zw=z$

Existencia del inverso multiplicativo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $z^{-1}$ tal que:

$zz^{-1}=1$

Donde $z^{-1}$ puede interpretarse como:

$z^{-1}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy} \frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{\overline{z}}{\vert z \vert ^2}$

Otras Propiedades

1. Si $z \neq 0 \rightarrow \vert z \vert >0$
2. Si $z = 0 \rightarrow \vert z \vert =0$
3. $\vert -z \vert = \vert z \vert = \vert \overline{z} \vert$
4. $\vert z_1z_2 \vert = \vert z_1 \vert \vert z_2 \vert$
5. $\vert \frac{z_1}{z_2} \vert =\frac{\vert z_1 \vert}{\vert z_2 \vert}$
6. $\vert z_1+z_2 \vert \leq \vert z_1 \vert + \vert z_2 \vert$

Evidencias

Deberes y Correcciones

I Bimestre

https://drive.google.com/folderview?id=0B2vdrKNMk4SGfnlZUFlkZWxsQlppVVJBTzVrZHBzTWhxX2hmNVlSNVc1a3pfVFFrMksyc2M&usp=sharing

II Bimestre 1° Parte

https://drive.google.com/folderview?id=0B2vdrKNMk4SGfmhXWW9rSEdpbVJXUU44eTlRZkFmWW9EczFidnZLdUxrTDh2cWt5UDkxYTQ&usp=sharing

Julio

4) Series de Fourier de funciones especiales

2 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/1XKpbj1W230Xw154E3bwntoTzICATFHEE_NtdNdWBOjo/edit#slide=id.p4

5) La transformada de Fourier

6 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/1Epu4TpRkEhyLt8QyTY7Pvrs9X44KpiA4ntfu2J7zmfQ/edit#slide=id.p

6) Transformadas de Fourier de funciones especiales

9 de Julio de 2015 y 13 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/1zvbV73biAlS7AQKAqANbvMGxzvRbAMjzmkj-TvFSe6Y/edit#slide=id.p

7) Problemas Regulares de Sturm-Liouville

16 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/1lvaGg9nPmFpXxNi7y0uWYE6Jz7cFVlmDmXsENOkArQY/edit#slide=id.gb7107e170_0_0

8) Ecuaciones en derivadas parciales

20 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/16TZPb0ksoLiJertHceQf7XF0XsV2olbhqUPwrtPNu7A/edit#slide=id.gb677a04af_4_5

9) Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera

23 de Julio de 2015
https://docs.google.com/presentation/d/1HYrbY5cXPfyLQtxvNEP7ymhB3E8VKBeMF3Tm9xOXqqk/edit#slide=id.g35f391192_00

10) Ecuación de transmisión de calor

https://docs.google.com/presentation/d/1SoCMGDQxuD194wXWjSFfmLMFpehSl6cgb6mqnp1P3_o/edit

11) Ecuación se onda

https://docs.google.com/presentation/d/1epvo40q7SXiVwdFdGy55aDM0tDvR__MQcPT3SCa7DjI/edit#slide=id.p

12) Ecuación de Laplace

https://docs.google.com/presentation/d/1BMIE-KMjnZWd6f1O5VbZ_uERUjiXjSc_ziFFY2hoLLc/edit#slide=id.gc30611532_0_0

Junio

Sucesiones y Series Infinitas Complejas

Sucesiones

Una sucesión infinita de números complejos, es una función compleja $z: N \rightarrow \mathbb{C}$, con dominio en $N$ y rango en $\mathbb{C}$, tal que : $z(n)=z_n=x_n+i y_n$, en donde $z_n$ es el n-ésimo término de la sucesión.

A la sucesión compleja infinita $z_1, z_2, ..., z_n,...$ se denota por $\{z_n\}_{n \geq 1}, z_n \in \mathbb{C}, \forall n \in \mathbb{N}$ donde $z_n$ se llama n-ésimo término de la sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ o término general.

Sea $z_0=x_0+i y_0$ $\in \mathbb{C}$, se dice que la sucesión $\{ z_n \}_{n \geq 1} \subset \mathbb{C}$, $z_n=x_n+i y_n=Re(z_n)+i Im(z_n)$ es convergente si y solo si:

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} z_n=z_0 \end{equation*}

Si el límite no existe, se dice que la sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ es divergente.

Sea $\{z_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión en $\mathbb{C}$ tal que $z_n=x_n+i y_n$, $z_0=x_0+i y_0$, entonces:

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} z_n= z_0 \Leftarrow \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} Re(z_n)=x_0 \wedge \lim_{n \rightarrow \infty} Im(z_n)=y_0 \end{equation*}

Propiedades

Supongamos que $z_n \rightarrow L$ y $w_n \rightarrow k$, entonces:

• $z_n+w_n \rightarrow L+k$
• $\alpha z_n \rightarrow \alpha L$
• $z_n w_n \rightarrow L \cdot k$
• $z_n / w_n \rightarrow L/k$ siempre que $w_n \neq 0$ y $z_n \rightarrow L$. 

Series infinitas de Números Complejos

Sea $\{z_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión de números complejos, a la expresión $z_1+z_2+...+z_n+...$, se conoce como serie infinita de números complejos que se denota por:

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n= z_1+z_2+...+z_n+... \end{equation*}

donde $z_n, n=1,2,3,..., $ se denominan términos de la serie.

Ahora se formará una sucesión a partir de la serie infinita del modo siguiente:

                                                                 $S_1=z_1$

                                                                 $S_2=z_1+z_2$

                                                                 $S_3=z_1+z_2+z_3$

                                                                 $\cdot$

                                                                 $\cdot$

                                                                 $\cdot$

\begin{equation*} S_n=z_1+z_2+z_3+...+z_n= \sum_{i=1}^{n} z_i \end{equation*}

Asi, la sucesióm $\{S_n\}_{n \geq 1}$ se denomina sucesión de las sumas parciales de la serie infinita.

Si la sucesión $\{S_n\}_{n \geq 1}$ es convergente o sea que el límite de la sucesíon cuando $n\rightarrow \infty$, se dice que la serie es convergente y su suma es:

\begin{equation*} \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} z_n= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n} \end{equation*}

Series Especiales

Serie Geometrica

La serie Geometrica es de la forma: 

\begin{equation*} \sum_{n=o}^{\infty} z_n=z_0+z_1+z_2+...+z_n+... \end{equation*}

y es absolutamente convergente si $ \vert z \vert \leq 1$ y diverge si $\vert z \vert > 1$

La serie p o funcion zeta de Riemann

La serie p o funcion zeta de Riemann esta definida para el campo de los complejos con parte real mayor que uno por la serie:

\begin{equation*} \zeta (p)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \end{equation*}

que es absolutamente convergente para $p > 1$ y es divergente par $p \leq 1$

Criterios de Convergencia

Criterio de Comparacion para Convergencia Absoluta

Si la serie infinita \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} w_n \end{equation*} es absolutamente convergente y \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n \end{equation*} es una serie infinita, tal que $k>0$ fijo, $\vert z_n \vert < k \vert w_n \vert $ entonces la serie \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n \end{equation*} es tambien absolutamente convergente.

Criterio de comparacion de D`Alembert de Convergencia Absoluta

Si el limite \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{u_{n+1}}{u_n} \vert =L \end{equation*} entonces \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} u_n \end{equation*} converge absolutamente si $L<1$ y diverge si $L \geq 1$

Series de Potencia

Una serie de potencia en el plano Complejo tiene la forma:

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n = c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+...+c_n(z-z_0)^n \end{equation*}

donde $c_n$son constantes reales o complejos llamados coeficientes $z_0$ es constante y se llama centro de la serie, $z$ es la variable compleja.

Si $z_0=0$, la serie se reduce a la forma 

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n z_n=c_0+c_1 z+c_2 z^2+... \end{equation*}

Serie de Taylor y de Maclaurin Compleja

Sea \begin{equation*} f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n \end{equation*} una serie de potencia convergente $\forall z \in \mathbb{C}$ tal que $\vert z-z_o \vert <R$ , la serie de Taylor alrededor de $z=z_0$ esta dada por:

\begin{equation*} \boxed{f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0) \cdot (z-z_0)^n}{n!}} \end{equation*}

cuando $z_0=0$ se tiene la serie:

\begin{equation*} \boxed{ f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0) \cdot z^n}{n!}} \end{equation*}

la serie se denomina serie de Maclaurin

Serie de Laurent 

Si $f$ es analitica en $z_0$ entonces se puede desarrollar $f$ en una serie de Taylor alrededor de $z_0$ conteniendo potencia en $z-z_0$. Si $f$ no es analitica en $z_0$, se puede representar $f$ con una serie de Laurent, cuya idea central es incluir terminos de la forma:

\begin{equation*} \frac{1}{z-z_0} \end{equation*}

Sea $\gamma _1 : \vert z-z_0 \vert > r, \gamma_2: \vert z-z_0 \vert <R, r<R $

$D=\{ z \in \mathbb{C} / r< \vert z-z_0 \vert <R \}$ la region anular cotado por $\gamma_1$ y $\gamma_2$.

Sea $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $, funcion analitica dentro y fuera de la frontera de $D$ entonces $\forall z \in D$ se tiene:

\begin{equation*} f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n (z-z_0)^{-n} \end{equation*}

donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes de las series de Laurent y 

\begin{equation*} a_n= \int_{\gamma_1} \frac{f(w) dw}{(w-z_0)^{n+1}} \end{equation*}

\begin{equation*} b_n= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_2} \frac{ f(w) dw}{(w-z_0)^{-n+1}}= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_2} f(w) (w-z_0)^{n-1} dw \end{equation*}

Teoria de las Singularidades y del Residuo

Singularidad

Un punto $z_0$ es un punto singular o una singularidad de una función $F$, si $F$ es analítica en algún punto de toda vecindad de $z_0$, excepto en $z_0$ mismo. Existen varios tipos de singularidades.

1. Singularidad Aislada

El punto $z=z_0$ es una singularidad aislada o un punto singular aislado de $F(z)$ si $\exists \delta >0$ , tal que el círculo $\vert z-z_0 \vert=\delta$ no encierra puntos singulares distintos de $z_0$. Si tal $\delta$ no existe, se dice que $z_0$ es una singularidad no aislada.

2. Polos

Si podemos encontrar un entero positivo $n$ tal que  \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} (z-z_0)^n = F(z)=A \neq 0  \end{equation*} entonces $z=z_0$ es llamado polo de orden $n$, si $n=1$, $z_0$ es llamado polo simple.

3. Singularidades Removibles

El punto singular $z_0$ es llamado una singularidad removible de $F(z)$ si $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z)$ existe.

4. Singularidades Esenciales

Una singularidad que no sea polo, ni punto de ramificación, ni singularidad removible es llamado una singularidad esencial.

Teorema del Residuo

Si $f(z)$ es una función analítica dentro y sobre una curva $\gamma$ excepto en un número finito de puntos singulares $z_1,z_2,z_3,...,z_j,...,z_m$ pertenecientes al interior de $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} \oint_{\gamma} f(z) dz= 2 \pi i \sum_{j=1}^{m} Re(f,z_j) \end{equation*}

Teorema

Si $z_0$ es un polo de orden $m$ de la función $f(z)$ entonces:

\begin{equation*} Re(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right] \end{equation*}

Lunes 22 de junio

Exposición del grupo 1-Funciones Periódicas y Ortogonales

https://docs.google.com/presentation/d/1YAaWPkHQt_g-6BQoVZd9--jDhyj5mxbp8WV7eEc_a4g/edit#slide=id.gb3b129bd4_0_25

Jueves 5 de junio

Exposición del grupo 2-Series de Fourier

https://docs.google.com/presentation/d/1-3EcJGVIHFTJ_4o_9uAdZyd2la1vS0guY52fDAaJBz0/edit#slide=id.p4

Abril

1. Indicaciones generales 6 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/indicaciones-generales.html

2. Introducción a los números complejos  9 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/introduccion-los-numeros-complejos.html

3. División de números complejos y ejercicios  13 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/division-de-numeros-complejos-y.html

4. Forma Polar, Exponencial y Logaritmo   16 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/forma-polar-y-forma-exponencial-de-un.html

5. Ejercicios de Repaso   20 de abril de 2015
http://advanced-math-epn.blogspot.com/2015/04/ejercicios-de-repaso.html