Forma Polar y Forma Exponencial de un Número Complejo-Logaritmo de un Número Complejo

Forma Polar

Sea $z=x+iy$ , tenemos:

$sen\theta = \frac{y}{r} \rightarrow  y=rsen\theta$

$cos\theta = \frac{x}{r} \rightarrow x=rcos\theta$

$z=x+iy=r(cos\theta + isen\theta) $

$\boxed{z=r\cdot cis\theta}$

Se dice que $\theta$ es el argumento de $z$ , en otras palabras $Arg(z)=\theta$.

Multiplicación y División en Forma Polar

Sean $z_1=r_1 cis \theta_1$ y $z_2=r_2 cis\theta_2$:

$z_1z_2=(r_1cis\theta_1)(r_2cis\theta_2)$
$z_1z_2=r_1r_2(cos\theta_1 cos\theta2+i cos\theta_1 sen\theta_2+i sen\theta_1 cos\theta_2-sen\theta_1 sen\theta_2) $
$z_1z_2=r_1r_2[(cos\theta_1 cos\theta_2-sen\theta_1 sen\theta_2)+i(cos\theta_1 sen\theta_2+sen\theta_1cos\theta_2)]$
$z_1z_2=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isen(\theta_1+\theta_2)]$

$\boxed{z_1z_2=r_1r_2 cis(\theta_1+\theta_2)} $

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cos\theta_1 +i sen\theta_1)}{r_2(cos\theta_2 +i sen\theta_2)} = \frac{r_1(cos\theta_1 + i sen\theta_1)}{r_2(cos\theta_2+i sen\theta_2)}\frac{cos\theta_2-i sen\theta_2}{cos\theta_2-i sen\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\cdot $ $(cos\theta_1 sen\theta_2-icos\theta_1sen\theta_2+isen\theta_1sen\theta_2+sen\theta_1sen\theta_2) $
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot$ $[(cos\theta_1sen\theta_1+sen\theta_1sen\theta_2)+i(-cos\theta_1sen\theta_2+sen\theta_1sen\theta_2)]=$ $\frac{r_1}{r_2} \cdot$ $[cos(\theta_1-\theta_2)+isen(\theta_1-\theta_2)]$

$\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\theta_1-\theta_2)}$

Potencias y Raíces

Basándonos en el resultado del producto de dos números complejos, para las potencias enteras de un número complejo $z=x+iy=rcis\theta$, podemos observar:

$z^2=(rcis\theta)(rcis\theta)=r^2cis(2\theta)$
$z^3=z^2 z=(r^2cis(2\theta))(rcis\theta)=r^3cis(3\theta)$
$\cdot$
$\cdot$
$\cdot$
$z^n=[r^{n-1}cis((n-1)\theta)](rcis\theta)=r^ncis(n\theta)$

$\boxed{z^n=r^n cis(n\theta)}$

este resultado es válido para todo $n$ entero sea positivo o negativo.
Cuando $z=cos\theta+isen\theta$ se tiene que $r=1$ por lo tanto:

$\boxed{(cos\theta+isen\theta)^n=cos(n\theta)+isen(n\theta)}$

Que se conoce como Fórmula de Demoivre.

Se dice que cierto número $w$ es una raíz enésima de un número complejo no nulo si $w^n=z$. Si $w=\rho(cos\phi+isen\phi)$ y $z=r(cos\theta+isen\theta)$, entonces $w^n=z$ toma la forma:

$\rho^n(cos(n\phi)+isen(n\phi))=r(cos\theta+isen\theta)$

La primera conclusión obtenida a partir de esta identidad es que $\rho^n=r \rightarrow \rho=r^{1/n}$. Luego:

$cos(n\phi)+isen(n\phi)=cos\theta+isen\theta$

$\rightarrow  cos(n\phi)=cos\theta$   y   $sen(n\phi)=sen\theta$

Al resolver ambas igualdades se obtiene:

$\phi=\frac{\theta + 2k\pi}{n}$

Donde $k=1,2,3,...,n-1$. Se puede unificar los resultados anteriores en una sola expresión que nos provee la fórmula para calcular la raíz enésima de un número complejo:

$\boxed{w=r^{1/n}\left[cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i sen\left( \frac{\theta+2\pi k}{n}\right) \right]}$

Exponencial Compleja

La serie de Maclaurin para la función exponencial es:

\begin{equation*}
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
\end{equation*}

Si hacemos que $x=i\theta$ hallamos:

\begin{equation*}
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\theta)^n}{n!}= 1+(i\theta)+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}
\begin{equation*}
e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot=\left( 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdot \cdot \cdot \right) +i\left( \theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot \right)
\end{equation*}

Si recordamos las series de Maclaurin para la función seno y coseno:

\begin{equation*}
sen(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}
\begin{equation*}
cos(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdot \cdot \cdot
\end{equation*}

Podemos observar que la parte real del desarrollo de $e^{i\theta}$ es la serie de Maclaurin del $cos(\theta)$ y la parte imaginaria es la serie de Maclaurin del $sen(\theta)$. Finalmente escribimos:

$\boxed{e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta}$

Que se conoce como Fórmula de Euler. A partir de esta es posible obtener dos resultados interesantes. Si sumamos $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ observamos que:

$e^{i\theta}=cos\theta + isen\theta$

$e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta$

$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$

$\rightarrow  \boxed{cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$

Ahora. si restamos $e^{-i\theta}$ de $e^{\theta}$:

$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isen\theta$

$\rightarrow  \boxed{sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{i}}$

Nótese que si de ambas fórmulas "borramos" el número $i$, llegamos a las definiciones del coseno y del seno hiperbólico respectivamente.
Una vez demostrada la forma exponencial de un número complejo, obtenemos su nueva representación:

$\boxed{z=r e^{i\theta}}$

Logaritmos Complejos

Sea $z=re^{i\theta}$

$ln(z)=ln(re^{i\theta}=ln(r)+i\theta$
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i\theta}$   Valor Principal
$\boxed{ln(z)=ln(r)+i(\theta+2\pi k)}$  Valor General