Mayo

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Son dos ecuaciones que deben satisfacer las primeras derivadas parciales de las funciones componentes $u$ y $v$ de una función $f(z)=u(x,y)+v(x,y)$ en un punto $z_0=(x_0,y_0)$ para que exista en el la derivada de $f$, Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$   y   $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Se dice también que si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es una función compleja definida en alguna región $D$ que contiene al punto $z_0$ y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a $x$ e $y$, y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en $z_0$, entonces $f'(z_0)$ existe.

Funciones Analíticas

Sea $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ analítica en el punto $z_0 \in D$, si $f$ está definida y es variable en alguna vecindad, es decir $f$ es analítica en $z_0$ si $\exists V_\rho (z_0)$ tal que $f$ está definida en $V_\rho (z_0)$ y $\exists f'(z_0)$, $\forall z \in V_ \rho (z_0)$.

Observaciones:

• A las funciones analíticas también se les llama función regular u holomorfa.
• La derivada de una función analítica también es analítica, entonces tiene derivadas analíticas de todos los órdenes.

Funciones Armónicas

Si la función $(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es analítica en $D$ entonces:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$   y   $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2 v}{\partial y \partial x}$   y   $\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial ^2 v}{\partial y \partial x}$ 

Entonces:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$

$\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0$

Por lo tanto las partes real e imaginaria de una función compleja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ analíticas son soluciones de la ecuación de Laplace, donde:

$\nabla ^2 u =\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$

$\nabla^2 v=\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0$

Toda función $F(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ que satisface las ecuaciones de Laplace se llaman "Funciones armónicas" y $F(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es analítica, entonces $u$ y $v$ se llaman "conjugadas armónicas".

Funciones Trascendentes Básicas

La Función Exponencial

La función $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, definida por $f(z)=e^z$ se llama función exponencial en $z$.

Propiedades

• $f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^x( cos y+i sen y)$
• $e^{-iy}=cos y-i seny$
• $\forall z_1 , z_2 \in \mathbb{C}; e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
• $\forall z_1 , z_2 \in \mathbb{C}; \frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=e{z_1-z_2}$
• $\forall z \in \mathbb{C}; (e^z)^n =e^{nz}$

Funciones Trigonómetricas

\begin{equation*} \boxed{cos (y)=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}} \end{equation*}

\begin{equation*} \boxed{ sen(y)=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}} \end{equation*}

Propiedades

• $cos(z)=cosh(y) \cdot cos(x)-i senh(y) \cdot sen(x)$
• $sen(z)=cosh(y) \cdot sen(x)+i senh(y) \cdot cos(x)$

Funciones Hiperbólicas

\begin{equation*} \boxed{ senh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2},cosh(z) = \frac{e^z+e^{-z}}{2}} \end{equation*}

Propiedades

• $senh(iz)=i sen(z)$
• $cosh(iz)=cos(z)

La Función Logarítmica

Sea $z \in \mathbb{C}$, si $z=e^w$, entonces definimos $w$ como el logaritmo natural de $z$ que se denota por $ln(z)=w$, conociendo $z$ podemos determinar $w$, un número finito de valores correspondientes para $w$

$ \boxed{ln(z)= ln(r)+(\theta+2k \pi)i, k \in z}$

Propiedades

• $ln(zw)=ln(z)+ln(w)$
• $ln(\frac{z}{w})=ln(z)-ln(w)$
• $ln(z^n)=n\cdot ln(z)$

Integración Compleja

Consideremos una función compleja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{C}$ tal que:

$f(t)=Re(f(t))+i Im(f(t))$

Entonces se define a la integral en la forma:

\begin{equation*} \boxed{\int_a ^b f(t)dt= \int_a ^b Re(f(t))dt+i \int_a ^b Im(f(t))dt }\end{equation*}

Integrales Curvilíneas en $\mathbb{C}$ 

Consideremos una curva $\gamma \subset \mathbb{C}$ y una función $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, tal que $\gamma \subset D$ donde $f$ es inyectiva y continua por lo menos sobre la curva $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} \int_\gamma f(z)dz=\int_a ^b f(z(t))\cdot z'(t) dt \end{equation*}

Propiedades

• \begin{equation*} \int_\gamma \alpha F(z) dz =\alpha \int_\gamma F(z)dz \end{equation*}
• \begin{equation*} int_\gamma [F(z)+G(z)]dz=\int_\gamma F(z)dz +\int_\gamma G(z)dz end{equation*}
•  Si se subdivide $\gamma$ en $n$ curvas $\gamma_1 , \gamma_ , \gamma_3 , ... , \gamma_n$ tal que $\gamma=\gamma_1 U \gamma_2 U \gamma_3 U ... U \gamma_n$, entonces:

\begin{equation*} \int_\gamma F(z)dz = \sum_{i=1} ^{n} \int_{\gamma_i} F(z)dz \end{equation*}

Teorema de la Integral de Cauchy

Sea $F$ una función analítica en $D$, un dominio simplemente conexo y $\gamma$ una curva simple, entonces:

\begin{equation*} \oint_\gamma F(z)dz=0 \end{equation*}

Si $F$ es analítica en su dominio simplemente conexo D, entonces:

\begin{equation*} \int F(z)dz \end{equation*}

Es independiente de la trayectoria en D y:

\begin{equation*} \int_{\gamma_1} F(z)dz = \int_{\gamma_2} F(z) dz \end{equation*}

Teorema de la Deformación

Sea $F$ una función analítica excepto en $z_0$ y sean $\Omega$ y $\gamma$ curvas cerradas simples que encierran $z_0$, entonces:

\begin{equation*} \oint_\gamma F(z) dz= \oint_\Omega F(z)dz \end{equation*}

Fórmula Integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy indica que si $f$ es una función analítica en el interior y sobre los puntos de una curva simple $\gamma$, los valores interiores de $\gamma$ están completamente determinados por los valores de $f$ sobre $\gamma$.

Sea $F(z)$ una función analítica en el de una región de $R$ y de $\gamma$ una curva simple, si $z_0$ es un punto interior a $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} F(z_0)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{F(z)}{z-z_0}dz \end{equation*}  

\begin{equation*} \oint \frac{F(z)}{z-z_0}dz=2\pi i F(z_0) \end{equation*}

Fórmula Integral de Cauchy para las derivadas de orden superior

Sea $F$ analítica en D simplemente conexo y sea $z_0$ en D, entonces $F$ tiene derivadas de todos los órdenes en $z_0$, por la tanto:

\begin{equation*} f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint \frac{F(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \end{equation*}

\begin{equation*} \oint \frac{F(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}F^{(n)}(z_0) \end{equation*}