Introducción a los Números Complejos

Los números complejos son una generalización de los números reales especialmente útiles en muchas ramas de las matemáticas puras y de la física. El matemático italiano Gerolamo Cardano es el primero de quien se sabe que introdujo el concepto de números complejos; estos fueron popularizados posteriormente por Karl Friedrich Gauss y Leonhard Euler.

La notación usada para representar a los números complejos es:

$z=x+iy$

Donde $x$ y $y$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2=-1$

Es también muy común encontrar la siguiente notación:

$x=Re(z)$      $y=Im(z)$

Los números reales son precisamente aquellos complejos cuya parte imaginario es cero. Se dice que un número complejo cuya parte real es nula, es un imaginario puro. 

Los números complejos pueden ser visualizados de manera más simple en un plano Euclídeo haciendo las siguientes identificaciones: el número complejo $z=x+iy \in \mathbb{C}$ se le asigna un punto $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Naturalmente el eje $x$ y el eje $y$ de $\mathbb{R}^{2}$ son los llamados eje real y eje imaginario respectivamente.

Operaciones con números complejos

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ , se tiene:

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

Y tambièn

$z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_+iy_2)$

$z_1z_2=x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_+i^{2}y_1y_2$

$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$

Se tomará ambas expresiones como la definición de la adición y la multiplicación. Por lo tanto se puede verificar las siguientes propiedades:

• Conmutatividad: $z_1+z_2=z_2+z_1$ y $z_1z_2=z_2z_1$ para todo $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$
• Asociatividad: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ y $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$ para $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$
• Distributividad: $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$ para todo $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$

La noción de longitud o valor absoluto de un número complejo es idéntica a la noción de longitud del plano Euclídeo. Se define como el valor absoluto o módulo de un número complejo $z=x+iy$ como:

$\vert z \vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$

Otro útil concepto es el del conjugado complejo de un $z=x+iy$ que esta definido de la siguiente manera:

$\overline{z}=x-iy$

Además de todo lo citado anteriormente, existen otras propiedades que definen al cuerpo de los números complejos como un campo. dichas propiedades son:

Existencia del inverso aditivo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $-z$ tal que:

$z+(-z)=0$ 

Existencia del elemento neutro aditivo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $w=0+i0$ tal que:

$z+w=z$

Existencia del elemento neutro multiplicativo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $w=1+i0$ tal que:

$zw=z$

Existencia del inverso multiplicativo. Sea $z=x+iy$ un número complejo, existe un elemento $z^{-1}$ tal que:

$zz^{-1}=1$

Donde $z^{-1}$ puede interpretarse como:

$z^{-1}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy} \frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{\overline{z}}{\vert z \vert ^2}$

Otras Propiedades

1. Si $z \neq 0 \rightarrow \vert z \vert >0$
2. Si $z = 0 \rightarrow \vert z \vert =0$
3. $\vert -z \vert = \vert z \vert = \vert \overline{z} \vert$
4. $\vert z_1z_2 \vert = \vert z_1 \vert \vert z_2 \vert$
5. $\vert \frac{z_1}{z_2} \vert =\frac{\vert z_1 \vert}{\vert z_2 \vert}$
6. $\vert z_1+z_2 \vert \leq \vert z_1 \vert + \vert z_2 \vert$