Junio

Sucesiones y Series Infinitas Complejas

Sucesiones

Una sucesión infinita de números complejos, es una función compleja $z: N \rightarrow \mathbb{C}$, con dominio en $N$ y rango en $\mathbb{C}$, tal que : $z(n)=z_n=x_n+i y_n$, en donde $z_n$ es el n-ésimo término de la sucesión.

A la sucesión compleja infinita $z_1, z_2, ..., z_n,...$ se denota por $\{z_n\}_{n \geq 1}, z_n \in \mathbb{C}, \forall n \in \mathbb{N}$ donde $z_n$ se llama n-ésimo término de la sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ o término general.

Sea $z_0=x_0+i y_0$ $\in \mathbb{C}$, se dice que la sucesión $\{ z_n \}_{n \geq 1} \subset \mathbb{C}$, $z_n=x_n+i y_n=Re(z_n)+i Im(z_n)$ es convergente si y solo si:

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} z_n=z_0 \end{equation*}

Si el límite no existe, se dice que la sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ es divergente.

Sea $\{z_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión en $\mathbb{C}$ tal que $z_n=x_n+i y_n$, $z_0=x_0+i y_0$, entonces:

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} z_n= z_0 \Leftarrow \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} Re(z_n)=x_0 \wedge \lim_{n \rightarrow \infty} Im(z_n)=y_0 \end{equation*}

Propiedades

Supongamos que $z_n \rightarrow L$ y $w_n \rightarrow k$, entonces:

• $z_n+w_n \rightarrow L+k$
• $\alpha z_n \rightarrow \alpha L$
• $z_n w_n \rightarrow L \cdot k$
• $z_n / w_n \rightarrow L/k$ siempre que $w_n \neq 0$ y $z_n \rightarrow L$. 

Series infinitas de Números Complejos

Sea $\{z_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión de números complejos, a la expresión $z_1+z_2+...+z_n+...$, se conoce como serie infinita de números complejos que se denota por:

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n= z_1+z_2+...+z_n+... \end{equation*}

donde $z_n, n=1,2,3,..., $ se denominan términos de la serie.

Ahora se formará una sucesión a partir de la serie infinita del modo siguiente:

                                                                 $S_1=z_1$

                                                                 $S_2=z_1+z_2$

                                                                 $S_3=z_1+z_2+z_3$

                                                                 $\cdot$

                                                                 $\cdot$

                                                                 $\cdot$

\begin{equation*} S_n=z_1+z_2+z_3+...+z_n= \sum_{i=1}^{n} z_i \end{equation*}

Asi, la sucesióm $\{S_n\}_{n \geq 1}$ se denomina sucesión de las sumas parciales de la serie infinita.

Si la sucesión $\{S_n\}_{n \geq 1}$ es convergente o sea que el límite de la sucesíon cuando $n\rightarrow \infty$, se dice que la serie es convergente y su suma es:

\begin{equation*} \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} z_n= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n} \end{equation*}

Series Especiales

Serie Geometrica

La serie Geometrica es de la forma: 

\begin{equation*} \sum_{n=o}^{\infty} z_n=z_0+z_1+z_2+...+z_n+... \end{equation*}

y es absolutamente convergente si $ \vert z \vert \leq 1$ y diverge si $\vert z \vert > 1$

La serie p o funcion zeta de Riemann

La serie p o funcion zeta de Riemann esta definida para el campo de los complejos con parte real mayor que uno por la serie:

\begin{equation*} \zeta (p)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \end{equation*}

que es absolutamente convergente para $p > 1$ y es divergente par $p \leq 1$

Criterios de Convergencia

Criterio de Comparacion para Convergencia Absoluta

Si la serie infinita \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} w_n \end{equation*} es absolutamente convergente y \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n \end{equation*} es una serie infinita, tal que $k>0$ fijo, $\vert z_n \vert < k \vert w_n \vert $ entonces la serie \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} z_n \end{equation*} es tambien absolutamente convergente.

Criterio de comparacion de D`Alembert de Convergencia Absoluta

Si el limite \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{u_{n+1}}{u_n} \vert =L \end{equation*} entonces \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} u_n \end{equation*} converge absolutamente si $L<1$ y diverge si $L \geq 1$

Series de Potencia

Una serie de potencia en el plano Complejo tiene la forma:

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n = c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+...+c_n(z-z_0)^n \end{equation*}

donde $c_n$son constantes reales o complejos llamados coeficientes $z_0$ es constante y se llama centro de la serie, $z$ es la variable compleja.

Si $z_0=0$, la serie se reduce a la forma 

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n z_n=c_0+c_1 z+c_2 z^2+... \end{equation*}

Serie de Taylor y de Maclaurin Compleja

Sea \begin{equation*} f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n \end{equation*} una serie de potencia convergente $\forall z \in \mathbb{C}$ tal que $\vert z-z_o \vert <R$ , la serie de Taylor alrededor de $z=z_0$ esta dada por:

\begin{equation*} \boxed{f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0) \cdot (z-z_0)^n}{n!}} \end{equation*}

cuando $z_0=0$ se tiene la serie:

\begin{equation*} \boxed{ f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0) \cdot z^n}{n!}} \end{equation*}

la serie se denomina serie de Maclaurin

Serie de Laurent 

Si $f$ es analitica en $z_0$ entonces se puede desarrollar $f$ en una serie de Taylor alrededor de $z_0$ conteniendo potencia en $z-z_0$. Si $f$ no es analitica en $z_0$, se puede representar $f$ con una serie de Laurent, cuya idea central es incluir terminos de la forma:

\begin{equation*} \frac{1}{z-z_0} \end{equation*}

Sea $\gamma _1 : \vert z-z_0 \vert > r, \gamma_2: \vert z-z_0 \vert <R, r<R $

$D=\{ z \in \mathbb{C} / r< \vert z-z_0 \vert <R \}$ la region anular cotado por $\gamma_1$ y $\gamma_2$.

Sea $f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $, funcion analitica dentro y fuera de la frontera de $D$ entonces $\forall z \in D$ se tiene:

\begin{equation*} f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n (z-z_0)^{-n} \end{equation*}

donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes de las series de Laurent y 

\begin{equation*} a_n= \int_{\gamma_1} \frac{f(w) dw}{(w-z_0)^{n+1}} \end{equation*}

\begin{equation*} b_n= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_2} \frac{ f(w) dw}{(w-z_0)^{-n+1}}= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_2} f(w) (w-z_0)^{n-1} dw \end{equation*}

Teoria de las Singularidades y del Residuo

Singularidad

Un punto $z_0$ es un punto singular o una singularidad de una función $F$, si $F$ es analítica en algún punto de toda vecindad de $z_0$, excepto en $z_0$ mismo. Existen varios tipos de singularidades.

1. Singularidad Aislada

El punto $z=z_0$ es una singularidad aislada o un punto singular aislado de $F(z)$ si $\exists \delta >0$ , tal que el círculo $\vert z-z_0 \vert=\delta$ no encierra puntos singulares distintos de $z_0$. Si tal $\delta$ no existe, se dice que $z_0$ es una singularidad no aislada.

2. Polos

Si podemos encontrar un entero positivo $n$ tal que  \begin{equation*} \lim_{z \rightarrow z_0} (z-z_0)^n = F(z)=A \neq 0  \end{equation*} entonces $z=z_0$ es llamado polo de orden $n$, si $n=1$, $z_0$ es llamado polo simple.

3. Singularidades Removibles

El punto singular $z_0$ es llamado una singularidad removible de $F(z)$ si $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z)$ existe.

4. Singularidades Esenciales

Una singularidad que no sea polo, ni punto de ramificación, ni singularidad removible es llamado una singularidad esencial.

Teorema del Residuo

Si $f(z)$ es una función analítica dentro y sobre una curva $\gamma$ excepto en un número finito de puntos singulares $z_1,z_2,z_3,...,z_j,...,z_m$ pertenecientes al interior de $\gamma$, entonces:

\begin{equation*} \oint_{\gamma} f(z) dz= 2 \pi i \sum_{j=1}^{m} Re(f,z_j) \end{equation*}

Teorema

Si $z_0$ es un polo de orden $m$ de la función $f(z)$ entonces:

\begin{equation*} Re(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right] \end{equation*}

Lunes 22 de junio

Exposición del grupo 1-Funciones Periódicas y Ortogonales

https://docs.google.com/presentation/d/1YAaWPkHQt_g-6BQoVZd9--jDhyj5mxbp8WV7eEc_a4g/edit#slide=id.gb3b129bd4_0_25

Jueves 5 de junio

Exposición del grupo 2-Series de Fourier

https://docs.google.com/presentation/d/1-3EcJGVIHFTJ_4o_9uAdZyd2la1vS0guY52fDAaJBz0/edit#slide=id.p4