División de números complejos y Ejercicios

División 

Sean $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ números complejos. Se define a la división $z_1/z_2$ como:

$\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=z_1 \frac{1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2 \vert ^2}$

Ejemplos

1. $\frac{\overline{i+i}}{i}$

Desarrollo

$\frac{\overline{i+1}}{i}=\frac{1-i}{i} \frac{i}{i}=\frac{i-i^2}{-1}=\frac{1+i}{-1}=-1-i$

2. Demostrar que $\vert z-\frac{3}{4} \vert = \frac{1}{4}$   si $z=\frac{i-a}{1+2ai}$

Desarrollo

$z=\frac{i-a}{1+2ai}=\frac{(-a-i)(1-2ai)}{1+4a^2}=\frac{2a+(2a^2+1)i}{1+4a^2}=\frac{a}{1+4a^2}+\frac{2a^2+1}{1+4a^2}i$

$z-\frac{3}{4}=\frac{a}{1+4a^2}+( \frac{2a^2+1}{1+4a^2}-\frac{3}{4})i = \frac{a}{1+4a^2}+\frac{1-4a^2}{4(1+4a^2)}i$

$\vert z-\frac{3}{4} \vert = \sqrt{\frac{a^2}{(1+4a^2)^2}+\frac{(1-4a^2)^2}{16(1+4a^2)^2}}=\sqrt{\frac{16a^4+8a^2+1}{16(1+4a^2)^2}}=\sqrt{\frac{(4a^2+1)^2}{16(1+4a^2)}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

3. Describir y construir la gráfica del lugar geométrico representado por:

a) $\vert z-z_0 \vert = r $

Desarrollo

Sea $z=x+iy$

$\vert z-z_0 \vert = \vert x+iy-z_0 \vert = \vert (x-z_0)+iy \vert = r $

$\sqrt{(x-z_0)^2+y^2}= r $

$ (x-z_0)^2+y^2 = r^2 $

Es una circunferencia de centro $(z_0,0)$ 

b)  $Im(z^2)=4$

Desarrollo

$Im(z^2)=Im( (x^2-y^2)+2xyi ) = 4$

Debido a que $Im(z)$ devuelve el número real que multiplica a $i$ , tenemos:

$Im( x^2+y^2+2xyi ) = 4 $

$2xy=4$

$y=\frac{2}{x}$ 

Es la ecuación de una hipérbola rotada

c)  $\vert z+2i \vert + \vert z-2i \vert = 6$

Desarrollo

$\vert z+2i \vert + \vert z-2i \vert = 6 $

$\sqrt{x^2+(y+2)^2}+\sqrt{x^2+(y-2)^2}= 6$

$\sqrt{x^2+(y+2)^2} = 6-\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$x^2+(y+2)^2=36-12\sqrt{x^2+(y-2)^2}+x^2+(y-2)^2$

$(y+2)^2-(y-2)^2 = 36-12\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$8y-36 = -12\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$2y-9=-3\sqrt{x^2+(y-2)^2}$

$4y^2-36y+81=9x^2+9y^2-36y+36$

$-9x^2-5y^2=-45$

$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$

Es la ecuación de una elipse centrada en el origen paralela al eje y

4. Encontrar el módulo de $\frac{1+cos\theta+isen\theta}{1-cos\theta+isen\theta}$

Desarrollo

$\frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta} = \frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta}  \frac{(1-cos\theta)-isen\theta}{(1-cos\theta)-isen\theta}=\frac{((1+cos\theta)(1-cos\theta)+sen^2\theta)+(-sen\theta(1+cos\theta)+sen\theta(1-cos\theta))i}{(1-cos\theta)^2+sen^2\theta}$

$\frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta}=\frac{2sen^2\theta-2sen\theta cos\theta i}{1-2cos\theta +1}=\frac{2sen^2\theta-2sen\theta cos\theta i}{2-2cos \theta}=\frac{sen^2\theta-sen\theta cos\theta i}{1-cos\theta}=\frac{sen\theta}{1-cos\theta} (sen\theta-cos \theta i)$

$\vert \frac{(1+cos\theta)+isen\theta}{(1-cos\theta)+isen\theta} \vert=\frac{sen\theta}{1-cos\theta} \sqrt{sen^2\theta + cos^2\theta}=\frac{sen\theta}{1-cos\theta}$